En un sartén grande sobre un quemador a fuego medio-alto, calentar 3 cucharadas de aceite. Añadir las cebollas y el azúcar y cocinar hasta que se doren (unos 15 minutos), revolviendo de vez en cuando. Incorporar el vinagre y cocinar durante 1 minuto más. Retirar del fuego e incorporar la sal. Pasar las cebollas a un tazón y poner de nuevo el sartén a fuego medio-alto. Calentar 2 cucharaditas de aceite y agregar el pimiento. Cocinar hasta que esté suave pero crujiente (3-4 minutos), revolviendo de vez en cuando. Retirar del fuego. Agregar a las cebollas y dejar enfriar completamente.
Dividirla en cuatro porciones iguales. Untar cuatro cuadros de papel encerado de unos 23 cm de lado con un poco de aceite. Aplanar con los dedos cada trozo de masa sobre un cuadro de papel encerado aceitado para crear cuatro bases redondas, de 17-20 cm de diámetro y unos 0.5 cm de grosor cada una. Untar ligeramente las bases por encima con aceite. Dejar reposar a temperatura ambiente durante 10 minutos.
Preparar el asador para fuego directo con calor medio (180-230 °C).
Cepillar las parrillas de cocción para limpiarlas. Asar las bases (con el lado del papel hacia arriba) con fuego medio directo, manteniendo la tapa cerrada, hasta que estén bien marcadas y firmes por debajo (2-5 minutos), girándolas según sea necesario para obtener una cocción uniforme. Desechar el papel encerado. Trasladar las bases, con el lado tostado hacia arriba, a una superficie de trabajo.
Repartir el queso mozzarella, la mezcla de cebolla y pimiento, el queso azul y las nueces en partes iguales entre las bases. Llevar de nuevo las pizzas al asador y hornear con fuego medio directo, manteniendo la tapa cerrada, hasta que el queso se funda y las bases estén crujientes por debajo (2-5 minutos), girándolas de vez en cuando para obtener una cocción uniforme. Trasladarlas a una tabla de picar, añadir perejil por encima y cortar en rebanadas triangulares. Servir caliente.
